Question

11．棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若与D₁B平行的平面截正方体所得的截面面积为S，则S的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}{a}^{2}$）．

Answer 1

分析 根据题意，取AA₁与CC₁的中点M和N，得出四边形MBND₁的面积S，从而得出与D₁B平行的平面截正方体所得截面面积S的取值范围．

解答 解：根据题意，取AA₁的中点M，CC₁的中点N，
连接D₁M、MB、BN、ND₁，如图所示；
则MN⊥BD₁，
又AB=a，∴MN=$\sqrt{2}a$，BD₁=$\sqrt{3}a$，
∴四边形MBND₁的面积为S=$\frac{1}{2}$•MN•BD₁=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$a×$\sqrt{3}$a=$\frac{\sqrt{6}}{2}{a}^{2}$．
∴与D₁B平行的平面截正方体所得截面面积S的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}{a}^{2}$）．
故答案为：（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}{a}^{2}$）．

点评 本题考查棱柱的结构特征，考查了空间中的位置关系的应用问题，体现了转化思想的应用，是中档题．