Question

6．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0．b＞0）和圆O：x²+y²=b²，过双曲线C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，若△PAB可为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$]
• B． （1，$\sqrt{3}$]
• C． [$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）
• D． [$\sqrt{3}$，+∞）

Answer 1

分析 由于△PAB可为正三角形，可得∠OPA=30°，OP=2b≥a，再利用离心率计算公式即可得出．

解答 解：∵△PAB可为正三角形，
∴∠OPA=30°，
∴OP=2b，
则2b≥a，
∴$\frac{b}{a}$≥$\frac{1}{2}$，
∴双曲线C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$
≥$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴双曲线C的离心率的取值范围是[$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查了双曲线与圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．