Question

(12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为A₁D₁和CC₁ 的中点．

(1)求证：EF∥平面ACD₁；
(2)求面EFB与底面ABCD所成的锐二面角余弦值的大小．

Answer 1

解：如图分别以DA、DC、DD₁所在的直线为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，由已知得D(0，0，0)、A(2，0，0)、B(2，2，0)、C(0，2，0)、B₁(2，2，2)、D₁(0，0，2)、E(1，0，2 )、F(0，2，1)．
（1）取AD₁中点G，则G（1，0，1），=（1，-2，1），又=（-1，2，-1），由=，   ∴与共线．从而ＥＦ∥ＣＧ，∵CG平面ACD₁，EF平面ACD₁，∴EF∥平面ACD₁.………………………（6分）网
（2）设面EFB的一个法向量，由得，故可取，………（8分）取底面ABCD的一个法向量，由，所成的锐二面角余弦值的大小为．……（12分）