Question

如图，△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行
四边形，DC平面ABC ,，已知AE与平面ABC所成的角为,
且．
（1）证明：平面ACD平面；
（2）记，表示三棱锥A－CBE的体积，求的表达式；
（3）当取得最大值时，求二面角D－AB－C的大小．

Answer 1

（）
二面角D－AB－C为60°

解：（１）证明：∵四边形DCBE为平行四边形 ∴，---------1分
∵DC平面ABC ,平面ABC  ∴． ----------2分
∵AB是圆O的直径 ∴且     
∴平面ADC． 
∵DE//BC  ∴平面ADC ---------------------------------------3分
又∵平面ADE  ∴平面ACD平面----------------4分
（2）∵DC平面ABC   ∴平面ABC
∴为AE与平面ABC所成的角，即＝-------------------5分
在Rｔ△ABE中，由,得------------6分
在Rｔ△ABC中∵（）
∴------------------------------------7分
∴（）-------8分
（3）由（2）知
要取得最大值，当且仅当取得最大值，
∵---------------------------------------------------------9分
当且仅当，即时，“＝”成立，
∴当取得最大值时,这时△ACB为等腰直角三角形----------------10分
解法1：连结CO，DO
∵AC=BC,DC=DC
∴≌  ∴AD="DB  "
又∵O为AB的中点 ∴
∴为二面角D－AB－C的平面角------------12分
在中   ∵,
∴, ∴=
即当取得最大值时，二面角D－AB－C为60°．--------------------------------14分
解法2：以点O为坐标原定，OB为x轴建立空间直角坐标系如图示：
则B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(0,1,)，
∴,
平面ABC的法向量，---------------------11分
设平面ABD的法向量为
由得
令，则 ∴-------------12分
设二面角D－AB－C的大小为，则
∴,即二面角D－AB－C的大小为60°．------------------------------------14分