Question

【题目】已知函数， ， .

（1）设函数，若在区间上单调，求实数的取值范围；

（2）求证： .

Answer 1

【答案】（1）的取值范围为 （2）证明见解析

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，问题转化为在上恒成立，求出m的范围即可；（2）设g(x)=f2(x)-f3(x)-2f1′(x)=ex-lnx-2，求出函数的导数，得到函数的单调性，求出g（x）的最小值，从而证出结论．

试题解析:（1）由题意得，所以，因为，

所以

若函数在区间上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，所以

若函数在区间上单调递减，则在上恒成立，

即在上恒成立，所以

综上，实数的取值范围为.

（2）设

则，设，则，所以在上单调递增，

由， 得，存在唯一的使得，

所以在上有，在上有

所以在上单调递减，在递增.

所以，故， .