Question

4．已知函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出f（2），再求出导数f′（x），从而求出f′（2）即为切线的斜率，再用点斜式方程写出切线方程并化为一般式；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=2x³-6x²+6x，
导数f′（x）=6x²-12x+6，
所以f′（2）=6×2²-12×2+6=6，
又因为f（2）=2×2³-6×2²+6×2=4，
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-4=6（x-2），即6x-y-8=0；
（Ⅱ）f′（x）=6（x-1）（x-a），令f′（x）=0，解得：x=1或x=a，
①a=1时，f′（x）=6（x-1）²≥0，函数在R递增，
②a＜1时，令f′（x）＞0，解得：x＜a或x＞1，令f′（x）＜0，解得：a＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，a），（1，+∞）递增，在（a，1）递减；
③a＞1时，令f′（x）＞0，解得：x＜1或x＞a，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜a，
∴f（x）在（-∞，1），（a，+∞）递增，在（1，a）递减．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．