Question

5．已知a＞0且a≠1，设p：函数y=log_a（x+3）在（0，+∞）内单调递减，q：方程x²+（2a-3）x+1=0有两个不等负根，如果p∨q为真且p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求出关于p，q为真时的a的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：关于p：函数y=log_a（x+3）在（0，+∞）内单调递减，
则0＜a＜1，
关于q：方程x²+（2a-3）x+1=0有两个不等负根，
则$\left\{\begin{array}{l}{△{=（2a-3）}^{2}-4＞0}\\{-（2a-3）＜0}\end{array}\right.$，解得：a＞$\frac{5}{2}$；
如果p∨q为真且p∧q为假，
则p，q一真一假，
则$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{0＜a≤\frac{5}{2}且a≠1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＞\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得：0＜a＜1或a＞$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查对数函数以及二次函数的性质，是一道中档题．