Question

已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且．

（1）求a1，a3；

（2）求证：数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；

（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1<p<q)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(1)令n=1，则a1=S1==0． a3=2； 

（2）由，即，①得 ． ②

②－①，得  ．③

于是，．④

③+④，得，即．

又a1=0，a2=1，a2－a1=1，

所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，an=n－1．

(3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，

则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列， 于是，．

所以，(☆)．易知(p，q)=(2，3)为方程(☆)的一组解．

当p≥3，且p∈N*时，<0，

故数列{}(p≥3)为递减数列 于是≤<0，所以此时方程(☆)无正整数解．

综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列．