Question

3．已知正实数a，b满足2a+b+4=ab，若（2a+b）x²+abx-6≥0总成立，则正实数x的取值范围x≥$\frac{\sqrt{13+10\sqrt{3}}-（2+\sqrt{3}）}{2+2\sqrt{3}}$．

Answer 1

分析 a，b＞0，2a+b=ab-4＞0，利用基本不等式的性质可得：ab-4≥2$\sqrt{2ab}$，解得$\sqrt{ab}$≥$\sqrt{2}+\sqrt{6}$，把2a+b=ab-4代入（2a+b）x²+abx-6≥0，x＞0，可得：（ab）min≥$\frac{6+4{x}^{2}}{{x}^{2}+x}$．解出即可得出．

解答 解：∵a，b＞0，∴2a+b=ab-4＞0，
∴ab-4≥2$\sqrt{2ab}$，化为$（\sqrt{ab}）^{2}-2\sqrt{2}\sqrt{ab}$-4≥0，
解得$\sqrt{ab}$≥$\sqrt{2}+\sqrt{6}$，
∴ab≥8+4$\sqrt{3}$，当且仅当2a=b=2+2$\sqrt{3}$时取等号．
把2a+b=ab-4代入（2a+b）x²+abx-6≥0，x＞0，可得：（ab-4）x²+abx-6≥0，
即ab（x²+x）≥4x²+6（恒成立），又x＞0，
∴（ab）_min≥$\frac{6+4{x}^{2}}{{x}^{2}+x}$．
∴8+4$\sqrt{3}$≥$\frac{6+4{x}^{2}}{{x}^{2}+x}$，化为：（2+2$\sqrt{3}$）x²+$（4+2\sqrt{3}）$x-3≥0，
解得x≥$\frac{\sqrt{13+10\sqrt{3}}-（2+\sqrt{3}）}{2+2\sqrt{3}}$，
∴正实数x的取值范围是x≥$\frac{\sqrt{13+10\sqrt{3}}-（2+\sqrt{3}）}{2+2\sqrt{3}}$．
故答案为：x≥$\frac{\sqrt{13+10\sqrt{3}}-（2+\sqrt{3}）}{2+2\sqrt{3}}$．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．