Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$，满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，且对一切实数x，|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|恒成立，则$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角的大小为$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 设向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，由数量积变形已知式子可得x²+4xcosθ-1-4cosθ≥0恒成立，由△≤0和三角函数可得．

解答 解：设向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2×1×cosθ=2cosθ，
∵对一切实数x，|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|恒成立，
∴对一切实数x，|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|²≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²恒成立，
∴对一切实数x，$\overrightarrow{a}$²+2x$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+x²$\overrightarrow{b}$²≥$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²恒成立，
代入数据可得对一切实数x，4+4xcosθ+x²≥4+4cosθ+1恒成立，
即有x²+4xcosθ-1-4cosθ≥0恒成立，
∴△=16cos²θ+4（1+4cosθ）≤0，
整理可得（2cosθ+1）²≤0，又（2cosθ+1）²≥0，
∴（2cosθ+1）²=0，即2cosθ+1=0，
解得cosθ=-$\frac{1}{2}$，由θ∈[0，π]可得θ=$\frac{2π}{3}$
故答案为：$\frac{2π}{3}$

点评 本题考查向量的数量积与夹角，涉及二次不等式恒成立问题，属中档题．