Question

2．已知函数f（x）=x+alnx，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}{x^2}$-bx．
（1）求实数a的值；
（2）设x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数g（x）的两个极值点，记t=$\frac{x_1}{x_2}$，若b≥$\frac{13}{3}$，
①t的取值范围；
②求g（x₁）-g（x₂）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用函数的导数，求出切线的斜率，然后求解a的值．
（2）①通过函数的导数，利用函数的极值点，推出t=$\frac{x_1}{x_2}$的不等式，求出t的范围．
②化简g（x₁）-g（x₂）的表达式，构造函数$h（t）=lnt-\frac{1}{2}（t-\frac{1}{t}），t∈（{0，\frac{1}{9}}]$，利用函数是判断函数的单调性，然后判断函数的极值，推出结果．

解答 解：（1）由题函数f（x）=x+alnx，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，
可得$f'（x）=1+\frac{a}{x}$
由题意知f′（1）=1+a=2，即a=1…（2分）
（2）①由$g（x）=lnx+\frac{1}{2}{x^2}-（b-1）x$，$g'（x）=\frac{{{x^2}-（b-1）x+1}}{x}$
令g′（x）=0，x²-（b-1）x+1=0．
即x₁+x₂=b-1，x₁x₂=1
而$\frac{{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{x_1}{x_2}+2+\frac{x_2}{x_1}=t+2+\frac{1}{t}={（b-1）^2}≥\frac{100}{9}$…（6分）
由x₁＜x₂，即0＜t＜1，解上不等式可得：$0＜t≤\frac{1}{9}$…（8分）
②而$g（{x_1}）-g（{x_2}）=ln\frac{x_1}{x_2}-\frac{1}{2}（\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}）=lnt-\frac{1}{2}（t-\frac{1}{t}）$
构造函数$h（t）=lnt-\frac{1}{2}（t-\frac{1}{t}），t∈（{0，\frac{1}{9}}]$
由t$∈（0，\frac{1}{9}]$，h′（t）=-$\frac{（t-1）^{2}}{2{t}^{2}}$＜0，
故h（t）在定义域内单调递减，$h{（t）_{min}}=h（\frac{1}{9}）=\frac{40}{9}-2ln3$
所以g（x₁）-g（x₂）的最小值为$\frac{40}{9}-2ln3$…（14分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性切线方程，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．