试题分析:(1)先确定函数
、
的图象与坐标轴的交点,利用相应的图象在交点处的切线平行列出有关
的方程求解出
的值,然后在确定两个函数图象与坐标轴的交点,利用导数求出直线
、
的方程;
(2)利用
的性质,引入函数
,从而将
化为
,构造新函数
,
,问题转换为
进行处理;(3)将等价转化为
,构造新函数
,将问题转化为
进行处理,结合导数来求函数
的最小值,在判断导数的符号时,可以结合基本不等式来处理.
试题解析:(1)对于函数
而言,
,函数
的定义域为
,
故函数
与
轴无交点,因此函数
与
轴有交点,
令
,解得
,
,
,
,
,即函数
的图象与
轴无交点,与
轴有交点,
且
,
,
由题意知,
,即
,解得
,因为
,所以
,
,
,
,
,
,
,
所以直线
的方程为
,即
,
直线
的方程为
,即
;
(2)函数
与
的公共定义域为
,
在同一坐标系中画出函数
,
和函数
的图象,易知当
时,
,
,
令
,
,其中
,
,故函数
在
上单调递增,所以
,
,令
,解得
,
当
时,
,当
时,
,
故函数
在
处取得极小值,亦即最小值,即
,
,
,证毕!
(3)问题等价于“存在
使得
成立”
“存在
使得
成立”,其中
,
令
,则有
,则函数
的定义域为
,
,故函数
在
上单调递减,所以
,
因此
,故实数
的取值范围是
.