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已知函数,其中为常数,,函数的图像在它们与坐标轴交点处的切线分别为,且.
(1)求常数的值及的方程;
(2)求证:对于函数公共定义域内的任意实数,有
(3)若存在使不等式成立,求实数的取值范围.
(1),所以直线的方程为,直线的方程为
(2)详见解析;(3)实数的取值范围是.

试题分析:(1)先确定函数的图象与坐标轴的交点,利用相应的图象在交点处的切线平行列出有关的方程求解出的值,然后在确定两个函数图象与坐标轴的交点,利用导数求出直线的方程;
(2)利用的性质,引入函数,从而将化为,构造新函数,问题转换为进行处理;(3)将等价转化为,构造新函数,将问题转化为进行处理,结合导数来求函数的最小值,在判断导数的符号时,可以结合基本不等式来处理.
试题解析:(1)对于函数而言,,函数的定义域为
故函数轴无交点,因此函数轴有交点,
,解得
,即函数的图象与轴无交点,与轴有交点,

由题意知,,即,解得,因为,所以

所以直线的方程为,即
直线的方程为,即
(2)函数的公共定义域为
在同一坐标系中画出函数和函数的图象,易知当时,

,其中
,故函数上单调递增,所以
,令,解得
时,,当时,
故函数处取得极小值,亦即最小值,即
,证毕!
(3)问题等价于“存在使得成立”“存在使得成立”,其中
,则有,则函数的定义域为

,故函数上单调递减,所以
因此,故实数的取值范围是.
练习册系列答案
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