Question

3．如图，平面上有四个点A、B、P、Q，其中A、B为定点，且AB=$\sqrt{3}$，P、Q为动点，满足AP=PQ=QB=1，又△APB和△PQB的面积分别为S和T，则S²+T²的最大值为$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 利用三角形面积公式分别表示出S与T，代入S²+T²中，利用同角三角函数间的基本关系化简，将第一问确定的关系式代入，利用余弦函数的性质及二次函数的性质求出最大值即可．

解答 解：在△PAB中，由余弦定理得：
PB²=PA²+AB²-2PA•AB•cosA=1+3-2$\sqrt{3}$cosA=4-2$\sqrt{3}$cosA，
在△PQB中，由余弦定理得：
PB²=PQ²+QB²-2PQ•QB•cosQ=2-2cosQ，
∴4-2$\sqrt{3}$cosA=2-2cosQ，即cosQ=$\sqrt{3}$cosA-1
根据题意得：S=$\frac{1}{2}$PA•AB•sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA，
T=$\frac{1}{2}$PQ•QB•sinQ=$\frac{1}{2}$sinQ，
∴S²+T²=$\frac{3}{4}$sin²A+$\frac{1}{4}$sin²Q
=$\frac{3}{4}$（1-cos²A）+$\frac{1}{4}$（1-cos²Q）
=-$\frac{3cos2A}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{3}{4}$
=-$\frac{3}{2}$（cosA-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）²+$\frac{7}{8}$，
当cosA=$\frac{\sqrt{3}}{6}$时，
S²+T²有最大值$\frac{7}{8}$，
故答案为：$\frac{7}{8}$．

点评 此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．