Question

8．已知函数f（x）=（ax²+x）e^x，其中e是自然数的底数，a∈R．
（1）当a＜0时，解不等式f（x）＞0；
（2）若a＞0，试判断f（x）在（-1，1）上是否有最大或最小值，说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）问题可化为$x（x+\frac{1}{a}）＜0$，解出即可；（2）求出函数的导数，结合二次函数的性质求出函数的最值即可．

解答 解：（1）因为e^x＞0，所以不等式f（x）＞0，即为ax²+x＞0，
又因为a＜0，所以不等式可化为$x（x+\frac{1}{a}）＜0$，
所以不等式f（x）＞0的解集为$（0，-\frac{1}{a}）$．
（2）f'（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x）e^x=[ax²+（2a+1）x+1]e^x，
令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，
图象对称轴为$x=-\frac{2a+1}{2a}=-1-\frac{1}{2a}＜-1$．
因为g（-1）•g（0）=-a＜0，所以g（x）在（-1，1）内有零点，记为x₀，
在（-1，x₀）上g'（x）＜0，g（x）递减，在（x₀，1）上g'（x）＞0，g（x）递增，
∴f（x）在（-1，1）上有最小值，无最大值．

点评 本题考查了解不等式问题，考查导数的应用以及函数的单调性、最值问题，是一道中档题．