Question

设函数f_n（x）=2a_nx³-3a_n+1x²+6x+1，a_n＞0，a₁=1，若f_n（x）有两个极值点α_n、β_n，且满足α_n+β_n=2ⁿα_nβ_n，其中n=1，2…．
（1）试用a_n表示a_n+1；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若T_n=α₁β₁+α₂β₂+…+α_nβ_n，证明：对一切n∈N^*，均有1≤T_n＜2．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,利用导数研究函数的极值

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由fn′(x)=6anx2-6an+1x+6=0，得：anx2-an+1x+1=0，由此利用韦达定理结合已知条件推导出an+1=an+2n，n∈N^*．
（Ⅱ）由an+1-an=2n，利用累加法能求出a_n=2ⁿ-1．
（Ⅲ）由α_nβ_n=

1

αn

＞0，得T_n≥T₁=1，当n≥2时，α_nβ_n=

1

an

＜

1

2n-1-1

-

1

2n-1

，由此利用裂项求和法能证明对一切n∈N^*，均有1≤T_n＜2成立．

解答： （Ⅰ）解：∵函数f_n（x）=2a_nx³-3a_n+1x²+6x+1，
∴fn′(x)=6anx2-6an+1x+6，
由f_n'（x）=0，得：anx2-an+1x+1=0，
∴x=α_n、x=β_n是上方程的两根，由韦达定理：

αn+βn= an+1 an αnβn= 1 an

，
由已知αn+βn-1=2nαnβn，n∈N^*，
∴

an+1

an

-1=

2n

an

，即an+1=an+2n，n∈N^*．…（3分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：an+1-an=2n，n∈N^*，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1
=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．…（7分）
（Ⅲ）证明：∵α_nβ_n=

1

αn

＞0，∴T_n≥T₁=1，
当n≥2时，α_nβ_n=

1

an

=

1

2n-1

=

2n-1-1

(2n-1)(2n-1-1)

＜

2n-1

(2n-1)(2n-1-1)

=

1

2n-1-1

-

1

2n-1

，
T_n=α₁β₁+α₂β₂+…+α_nβ_n
＜1+（1-

1

3

）+…+（

1

2n-1-1

-

1

2n-1

）
=2-

1

2n-1

＜2，
综上，对一切n∈N^*，均有1≤T_n＜2成立．…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．