Question

16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线交x轴于点H，过H作直线l交抛物线于A，B两点，且|BF|=2|AF|．
（Ⅰ）求直线AB的斜率；
（Ⅱ）若△ABF的面积为$\sqrt{2}$，求抛物线的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为A₁，B₁，易知AF=AA₁，BF=BB₁，求出A，H的坐标，即可求直线AB的斜率；
（Ⅱ）若△ABF的面积为$\sqrt{2}$，可得${S_{△ABF}}={S_{△AHF}}=2{S_{△AHO}}=2×\frac{1}{2}|{OH}|•|{y_A}|=\frac{{\sqrt{2}}}{4}{p^2}$，即可求抛物线的方程．

解答 解：（Ⅰ）过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为A₁，B₁，易知AF=AA₁，BF=BB₁，
∵|BF|=2|AF|，∴|BB₁|=2|AA₁|，∴A为HB的中点，又O是HF的中点，
∴AO是△BHF的中位线，∴$|{AO}|=\frac{1}{2}|{BF}|=|{AF}|$，而$F（{\frac{p}{2}，0}）$，∴${x_A}=\frac{p}{4}$，
∴$y_A^2=2p•\frac{p}{4}=\frac{p^2}{2}$，${y_A}=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}p$，∴$A（{\frac{p}{4}，±\frac{{\sqrt{2}p}}{2}}）$，而$H（{-\frac{p}{2}，0}）$
∴${k_{AB}}={k_{AH}}=\frac{{{y_H}-{y_A}}}{{{x_H}-{x_A}}}=±\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$；                                    …（6分）
（Ⅱ）∵A为HB的中点，O是HF的中点，
∴${S_{△ABF}}={S_{△AHF}}=2{S_{△AHO}}=2×\frac{1}{2}|{OH}|•|{y_A}|=\frac{{\sqrt{2}}}{4}{p^2}$，
∴$\frac{{\sqrt{2}}}{4}{p^2}=\sqrt{2}$，∴p=2，∴抛物线的方程为y²=4x．                                 …（12分）

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查三角形中位线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．