Question

6．已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（2a-c）cosB=bcosC，求f（$\frac{A}{2}$）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据图象求出A，ω 和φ，即可求函数f（x）的解析式；
（2）由（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简，可得B的大小，从而得到A的范围，利用三角函数的性质即可 求f（$\frac{A}{2}$）的取值范围．

解答 解：解：（1）由题设图象知，周期T=4（$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$）=π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=2．
图象的最高点为1，最小低为-1，可知M=1．
∵点（$\frac{π}{6}$，1）在函数图象上，
∴sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=1，即sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1
∴φ=$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$+2kπ，即φ=$\frac{π}{6}$+2kπ
∴函数f（x）的解析式；f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理：得2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC．
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sinA．
∵sinA≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$
∵0＜B＜π
∴B=$\frac{π}{3}$．
那么：$0＜A＜\frac{2π}{3}$．
由f（$\frac{A}{2}$）=sin（A+$\frac{π}{6}$）
则$\frac{π}{6}＜$A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$
∴$\frac{1}{2}＜$sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1．
即$\frac{1}{2}＜$f（$\frac{A}{2}$）≤1．
∴f（$\frac{A}{2}$）的取值范围（$\frac{1}{2}$，1]

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．