Question

19．已知函数f（x）=cos（x+ϕ）（-π＜ϕ＜0），g（x）=f（x）+f'（x）是偶函数．
（Ⅰ）求ϕ的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）•g（x）在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据导函数的计算求出f'（x），利用g（x）=f（x）+f'（x）是偶函数．即可求出ϕ的值
（Ⅱ）函数y=f（x）•g（x），求出函数y的解析式，化简，x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$的时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（x+ϕ）（-π＜ϕ＜0），
那么：f′（x）=-sin（x+ϕ）
依题意，g（x）=f（x）+f'（x）=cos（x+ϕ）-sin（x+ϕ）=$\sqrt{2}cos（x+ϕ+\frac{π}{4}）$．
∵g（x）=f（x）+f'（x）是偶函数，
∴$cos（ϕ+\frac{π}{4}）=±1$．
又∵-π＜ϕ＜0，
∴$ϕ=-\frac{π}{4}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，$f（x）=cos（x-\frac{π}{4}）$，$g（x）=f（x）+f'（x）=\sqrt{2}cosx$．
那么函数$y=f（x）•g（x）=\sqrt{2}cos（x-\frac{π}{4}）cosx=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$．
∵$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$时，可得：$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$
∴$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}∈[{1，\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}}]$，
故函数y=f（x）•g（x）在区间$[{0，\frac{π}{4}}]$的最大值为$\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$．

点评 本题主要考查对三角函数的导函数求法以及化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．