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    10．如图，P（x0，y0）是椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1的上的点，l是椭圆在点P处的切线，O是坐标原点，OQ∥l与椭圆的一个交点是Q，P，Q都在x轴上方
    （1）当P点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）时，利用题后定理写出l的方程，并验证l确定是椭圆的切线；
    （2）当点P在第一象限运动时（可以直接应用定理）
    ①求△OPQ的面积
    ②求直线PQ在y轴上的截距的取值范围．
    定理：若点（x0，y0）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1上，则椭圆在该点处的切线方程为$\frac{{x}_{0}x}{3}$+y0y=1．

    分析 （1）由定理求得切线方程，代入椭圆方程，由△=0，则直线l：x+y=2是在P点的椭圆的切线；
    （2）①由定理求得P点的切线方程，即可求得OQ的方程，代入椭圆方程，即可求得Q点坐标，即可求得丨OQ丨，则l与直线OQ之间的距离d，即可求得△OPQ的面积；
    ②由kPQ=kPM，即可求得m，由3=x02+3y02＜（x0+$\sqrt{3}$y0）2≤2（x02+3y02）=6，即可求得m的取值范围．

    解答 解：（1）由点（x0，y0）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1上，则椭圆在该点处的切线方程为$\frac{{x}_{0}x}{3}$+y0y=1．
    若P（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），则$\frac{\frac{3}{2}x}{3}+\frac{1}{2}y=1$，整理得：直线l：x+y=2，
    由$\left\{\begin{array}{l}{y=2-x}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：4x2-12x+9=0，
    △=（12）2-4×4×9=0，
    ∴直线l：x+y=2是椭圆的切线；
    （2）①设P（x0，y0），则x02+3y02=1，且切线l：$\frac{{x}_{0}x}{3}$+y0y=1．
    则OQ：x0x+3y0y=0，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}x+3{y}_{0}y=0}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}{y}_{0}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{0}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}{y}_{0}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{0}}\end{array}\right.$
    由Q在x轴上方，则Q（-$\sqrt{3}$y0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x0），
    则丨OQ丨=$\sqrt{3{y}_{0}^{2}+\frac{1}{3}{x}_{0}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{x}_{0}^{2}+9{y}_{0}^{2}}{3}}$，
    由l与直线OQ之间的距离d=$\frac{3}{\sqrt{{x}_{0}^{2}+9{y}_{0}^{2}}}$，
    由△OPQ的面积S=$\frac{1}{2}$×丨OQ丨×d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
    ②设直线PQ交y轴点M（0，m），由P（x0，y0），Q（-$\sqrt{3}$y0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x0），x0x+3y0y=0，
    由kPQ=kPM，则$\frac{{y}_{0}-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{3}{y}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}-m}{{x}_{0}}$，
    则m=y0-$\frac{{x}_{0}{y}_{0}-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{0}^{2}}{{x}_{0}+\sqrt{3}{y}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{{x}_{0}+\sqrt{3}{y}_{0}}$，
    3=x02+3y02＜（x0+$\sqrt{3}$y0）2≤2（x02+3y02）=6，
    故m=$\frac{\sqrt{3}}{{x}_{0}+\sqrt{3}{y}_{0}}$∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

    点评 本题考查椭圆的切线方程的求法，直线与椭圆的位置关系，两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．

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