Question

2．数列{a_n}满足a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$，{a_na_n+1}是公比为$\frac{1}{2}$的等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=3a_2n+2n-7，S_n是数列{b_n}的前n项和，求S_n以及S_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）可求得$\frac{{{a_{n+2}}}}{a_n}=\frac{1}{2}$；从而可得隔项成等比数列，从而分别求通项公式；
（2）化简${b_n}=3{a_{2n}}+2n-7=3•{（\frac{1}{2}）^{\frac{2n}{2}}}+2n-7=\frac{3}{2^n}+2n-7$，从而利用拆项求和法求S_n，讨论其单调性从而求最小值．

解答 解：（1）∵{a_na_n+1}是公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴$\frac{{{a_{n+1}}{a_{n+2}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{2}$，
即$\frac{{{a_{n+2}}}}{a_n}=\frac{1}{2}$；
∴a₁，a₃，a₅，a₇，…，a_2k-1，…是公比为$q=\frac{1}{2}$的等比数列；
a₂，a₄，a₆，a₈，…，a_2k，…是公比为$q=\frac{1}{2}$的等比数列．
当n为奇数时，设n=2k-1（k∈N^*），
${a_n}={a_{2k-1}}={a_1}{q^{k-1}}={（\frac{1}{2}）^{k-1}}$=${（\frac{1}{2}）^{\frac{n+1}{2}-1}}={（\frac{1}{2}）^{\frac{n-1}{2}}}$；
当n为偶数时，设n=2k（k∈N^*），
${a_n}={a_{2k}}={a_2}{q^{k-1}}={（\frac{1}{2}）^k}$=${（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}}}$；
综上，${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{\frac{n-1}{2}}}，n为奇数\\{（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}}}，n为偶数.\end{array}\right.$．
（2）${b_n}=3{a_{2n}}+2n-7=3•{（\frac{1}{2}）^{\frac{2n}{2}}}+2n-7=\frac{3}{2^n}+2n-7$．
S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$（\frac{3}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{3}{2^n}）+2（1+2+3+…+n）-7n$
=$3•\frac{{\frac{1}{2}-\frac{1}{2^n}•\frac{1}{2}}}{{1-\frac{1}{2}}}+n（n+1）-7n$
=${n^2}-6n+3-\frac{3}{2^n}$．
即${S_n}={（n-3）^2}-6-\frac{3}{2^n}$．
当n≥3时，∵（n-3）²-6和$-\frac{3}{2^n}$都是关于n的增函数，
∴当n≥3时，S_n是关于n的增函数，即S₃＜S₄＜S₅＜…．
∵${S_1}=-\frac{7}{2}=-\frac{28}{8}$，${S_2}=-\frac{23}{4}=-\frac{46}{8}$，${S_3}=-\frac{51}{8}$，
∴S₁＞S₂＞S₃；
∴${（{S_n}）_{min}}={S_3}=-\frac{51}{8}$．

点评 本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用，同时考查了等比数列与等差数列的性质的应用．