Question

12．已知c为实数，对于实数p，q定义运算“*”，p*q=$\left\{\begin{array}{l}{{p}^{2}+cq-{c}^{2}（p≥q）}\\{-\frac{1}{2}{p}^{2}+cq+\frac{1}{2}{c}^{2}（p＜q）}\end{array}\right.$且函数f（x）=（2x-c）*x
（1）若c=$\frac{1}{3}$，且方程f（x）=d恰有三个不相等的实根，求实数d的取值范围
（2）若c＞0，且函数f（x）在区间（a，b）上既有最大值又有最小值，试分别求出a，b的取值范围（用c表示）

Answer 1

分析 （1）由新定义可得f（x）的解析式，画出图象，求得x=$\frac{1}{3}$时，y=$\frac{1}{9}$；x=$\frac{1}{4}$时，y=$\frac{1}{8}$．结合图象，即可得到所求d的范围；
（2）画出函数f（x）的图象，要使得函数f（x）在开区间（a，b）内既有最大值又有最小值，则最小值一定在x=c处取得，最大值在x=$\frac{3}{4}$c处取得，分别求得函数值为c²时，x=$\frac{1}{2}$c，函数值为$\frac{9}{8}$c²时，x=$\frac{3+\sqrt{3}}{8}$c，即可得到a，b的范围．

解答 解：由新定义可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}-3cx，x≥c}\\{-2{x}^{2}+3cx，x＜c}\end{array}\right.$，
（1）当c=$\frac{1}{3}$时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}-x，x≥\frac{1}{3}}\\{-2{x}^{2}+x，x＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
作出y=f（x）的图象如右，可得x=$\frac{1}{3}$时，y=$\frac{1}{9}$
x=$\frac{1}{4}$时，y=$\frac{1}{8}$．
由图象可得$\frac{1}{9}$＜d＜$\frac{1}{8}$时，y=f（x）的图象和直线y=d有3个交点，
即有方程f（x）=d恰有三个不相等的实根；
（2）当c＞0时，函数的图象如图，
要使得函数f（x）在开区间（a，b）内既有最大值又有最小值，
则最小值一定在x=c处取得，
最大值在x=$\frac{3}{4}$c处取得，f（c）=c²，
在区间（-∞，c）内，函数值为c²时，x=$\frac{1}{2}$c，
所以$\frac{1}{2}$c≤a＜$\frac{3}{4}$c；
f（$\frac{3}{4}$c）=$\frac{9}{8}$c²，而在区间（a，+∞）内函数值为$\frac{9}{8}$c²时，
x=$\frac{3+\sqrt{3}}{8}$c，
所以c＜b≤$\frac{3+\sqrt{3}}{8}$c．

点评 本题考查分段函数的图象和最值的求法，注意运用函数方程的思想方法和函数的单调性，考查运算能力，属于难题．