Question

7．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$满足：$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=4，\overrightarrow c=\overrightarrow a-\overrightarrow b$，且$\overrightarrow c⊥\overrightarrow a$
（1）求向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角；
（2）求$\overrightarrow a•（\overrightarrow a+3\overrightarrow b）$及$|{3\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$．

Answer 1

分析 （1）由向量垂直的条件：数量积为0，运用向量的夹角的余弦公式，计算即可得到所求夹角；
（2）运用向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，
可得（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=0，
即为$\overrightarrow{a}$²=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4，
可得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{4}{2×4}$=$\frac{1}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞≤π，可得向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{3}$；
（2）$\overrightarrow a•（\overrightarrow a+3\overrightarrow b）$=$\overrightarrow{a}$²+3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4+3×4=16；
$|{3\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=$\sqrt{（3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{9{\overrightarrow{a}}^{2}+6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$
=$\sqrt{9×4+6×4+16}$=2$\sqrt{19}$．

点评 本题考查向量的数量积的夹角的求法，注意运用向量垂直的条件：数量积为0，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．