Question

17．点P在直线3x+4y-10=0上，过点P作圆x²+y²=1的切线，切点为M，则$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PO}$（O是坐标原点）的最小值是（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 作出图形，可得到$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PO}=|\overrightarrow{PM}{|}^{2}=P{O}^{2}-1$，从而问题转化为求PO的最小值，而O到直线3x+4y-10=0的距离便是PO的最小值，根据点到直线的距离公式便可求出PO的最小值，从而得出$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PO}$的最小值．

解答 解：如图，
$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PO}=|\overrightarrow{PM}||\overrightarrow{PO}|cos∠MPO$=$|\overrightarrow{PM}{|}^{2}$=PO²-1；
PO的最小值为O到直线3x+4y-10=0的距离：$\frac{10}{5}=2$；
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PO}$的最小值为3．
故选：D．

点评 考查向量数量积的计算公式，圆心和切点的连线与切线垂直，余弦函数的定义，直角三角形边的关系，以及点到直线的距离公式．