Question

16．数列{a_n}的前n项和S_n=100n-n²（n∈N^*）．
①求证{a_n}为等差数列；
②设b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 ①数列{a_n}的前n项和S_n=100n-n²（n∈N^*），当n=1时，a₁=S₁=99；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n=101-2n，是关于n的一次函数，即可证明．
②b_n=|a_n|=|101-2n|=$\left\{\begin{array}{l}{101-2n，n≤50}\\{2n-101，n≥51}\end{array}\right.$，对n分类讨论，利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 ①证明：∵数列{a_n}的前n项和S_n=100n-n²（n∈N^*），∴当n=1时，a₁=S₁=99；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=100n-n²-[100（n-1）-（n-1）²]=101-2n，当n=1时，上式也成立．
∴a_n=101-2n，是关于n的一次函数，因此是等差数列．
②解：b_n=|a_n|=|101-2n|=$\left\{\begin{array}{l}{101-2n，n≤50}\\{2n-101，n≥51}\end{array}\right.$，
∴当n≤50时，数列{b_n}的前n项和T_n=S_n=100n-n²．
当n≥51时，数列{b_n}的前n项和T_n=（a₁+a₂+…+a₅₀）-（a₅₁+a₅₂+…+a_n）
=2S₅₀-S_n
=2（100×50-50²）-（100n-n²）
=n²-100n+5000．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{100n-{n}^{2}，n≤50}\\{{n}^{2}-100n+5000，n≥51}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的定义通项公式及其前n项和公式、绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．