Question

11．f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是定义在R上的奇函数，如图是该函数在一个周期内的图象．其中P为图象与x轴的交点，Q为最低点，R为最高点，$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{QR}$=0，S_△PQR=$\frac{{π}^{2}}{2}$，则方程Asin（ωx+φ）=$\frac{π}{2}$|lgx|的根的个数为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 根据三角函数的图象和性质求出三角函数的解析式，然后利用函数与方程的关系转化两个函数的图象的交点问题进行求解即可．

解答 解：∵f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是定义在R上的奇函数，
∴φ=0，即f（x）=Asinωx，
由图象知，BP=$\frac{T}{2}$，RC=AQ=A，
则S_△PQR=$\frac{{π}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{T}{2}$×2A=AT，
即π²=AT，①
又△PQB为等腰直角三角形，
∴AP=AQ，即$\frac{T}{4}$=A，即T=4A，②
由①②得A=$\frac{π}{2}$，T=2π，
则ω=1，
则f（x）=$\frac{π}{2}$πsinx，
则由Asin（ωx+φ）=$\frac{π}{2}$|lgx|得$\frac{π}{2}$sinx=$\frac{π}{2}$|lgx|，
即sinx=|lgx|，作出函数y=sinx和y=|lgx|在同一周期内的图象如图，
则两个函数有4个交点，即方程根的公式为4个，
故选：B．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解以及根的个数是判断，求出函数的解析式以及利用函数与方程之间的关系进行转化是解决本题的关键．