Question

13．在△ABC中，BC=7，cosA=$\frac{1}{5}$，sinC=$\frac{2\sqrt{6}}{7}$．若动点P满足$\overrightarrow{AP}$=$\frac{λ}{2}$$\overrightarrow{AB}$+（1-λ）$\overrightarrow{AC}$（λ∈R），则点的轨迹与直线AB，AC所围成的封闭区域的面积为（　　）π

• A． $3\sqrt{6}$
• B． $4\sqrt{6}$
• C． $6\sqrt{6}$
• D． 12$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面积，从而求出围成封闭区域的面积．

解答 解：取AB的中点D，连结CD．则$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$．
∵$\overrightarrow{AP}$=$\frac{λ}{2}$$\overrightarrow{AB}$+（1-λ）$\overrightarrow{AC}$=$λ\overrightarrow{AD}$+（1-λ）$\overrightarrow{AC}$．
∴C，D，P三点共线．
∴P点轨迹为直线CD．
在△ABC中，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{5}{7}$．
由正弦定理得$\frac{BC}{sinA}=\frac{AB}{sinC}$，即$\frac{7}{\frac{2\sqrt{6}}{5}}=\frac{AB}{\frac{2\sqrt{6}}{7}}$，解得AB=5．
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{2\sqrt{6}}{5}×\frac{5}{7}+\frac{1}{5}×\frac{2\sqrt{6}}{7}$=$\frac{12\sqrt{6}}{35}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AB×BC×sinB$=$\frac{1}{2}×5×7×\frac{12\sqrt{6}}{35}$=6$\sqrt{6}$．
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=3$\sqrt{6}$．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，正弦定理解三角形，属于中档题．