Question

4．在等差数列{a_n}中，$\frac{{a}_{1010}}{{a}_{1009}}$＜-1，若它的前n项和S_n有最大值，则使S_n＞0的最大正整数n的值为2018．

Answer 1

分析 $\frac{{a}_{1010}}{{a}_{1009}}$＜-1，若它的前n项和S_n有最大值，可得等差数列{a_n}是单调递减数列，d＜0，a₁₀₁₀＜0，a₁₀₀₉＞0，a₁₀₁₀+a₁₀₀₉＞0，再利用等差数列的求和公式及其性质即可得出．

解答 解：∵$\frac{{a}_{1010}}{{a}_{1009}}$＜-1，若它的前n项和S_n有最大值，
∴等差数列{a_n}是单调递减数列，d＜0，a₁₀₁₀＜0，a₁₀₀₉＞0，a₁₀₁₀+a₁₀₀₉＞0，
∴S₂₀₁₈=$\frac{2018（{a}_{1}+{a}_{2018}）}{2}$=1009（a₁₀₁₀+a₁₀₀₉）＞0，
S₂₀₁₉=$\frac{2019（{a}_{1}+{a}_{2019}）}{2}$=2019a₁₀₁₀＜0，
∴使S_n＞0的最大正整数n的值为2018．
故答案为：2018．

点评 本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．