Question

20．f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：
①$f（x）=3-\frac{4}{x}$不可能是k型函数；
②若函数$y=\frac{{（{a^2}+a）x-1}}{{{a^2}x}}（a≠0）$是1型函数，则n-m的最大值为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$；
③设函数f（x）=x³+2x²+x（x≤0）是k型函数，则k的最小值为$\frac{4}{9}$．
④若函数$y=-\frac{1}{2}{x^2}+x$是3型函数，则m=-4，n=0；
其中正确的说法为②④．（填入所有正确说法的序号）

Answer 1

分析 根据题目中的新定义，结合函数与方程的知识，逐一判定命题①②③④是否正确，从而确定正确的答案．

解答 解：对于①，f（x）的定义域是{x|x≠0}，且f（2）=3-$\frac{4}{2}$=1，f（4）=3-$\frac{4}{4}$=2，∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，f（x）是$\frac{1}{2}$型函数，∴①错误；
对于②，函数$y=\frac{{（{a^2}+a）x-1}}{{{a^2}x}}（a≠0）$是1型函数，即（a²+a）x-1=a²x²，∴a²x²-（a²+a）x+1=0，∴方程的两根之差绝对值|x₁-x₂|═$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）-4{x}_{1}{x}_{2}}$$≤\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即n-m的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，②正确；
对于③，f（x）=x³+2x²+x（x≤0）是k型函数，则x³+2x²+x=kx有二不等负实数根，即x²+2x+（1-k）=0有二不等负实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-k＞0}\\{4-4（1-k）＞0}\end{array}\right.$，解得0＜k＜1，故③错误；
对于④，若函数$y=-\frac{1}{2}{x^2}+x$是3型函数，则$-\frac{1}{2}{x}^{2}+x=3x$，解得：x₁=-4，x₂=0，即m=-4，n=0，经验证符合题意，故④正确；
故答案为：②④

点评 本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了在新定义下函数的定义域、值域问题以及解方程的问题，是中档题也是易错题．