Question

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²=

1

2

bc．
（1）求cosA的最小值；
（2）若cos（B-C）+cosA=1，求角A．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的余弦函数

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，进而把a²=

1

2

bc代入，利用基本不等式求得其最小值．
（2）利用两角和与差的余弦函数对已知等式恒等变换整理可求得sinBsinC的值，利用已知和正弦定理求得sin²A的值，则A可求．

解答： 解：（1）cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2- 1 2 bc

2bc

=

b2+c2

2bc

-

1

4

≥1-

1

4

=

3

4

，当且仅当b=c时取等号．
∴cosA的最小值为

3

4

．
（2）cos（B-C）+cosA=cos（B-C）-cos（B+C）=cosBcosC+sinBsinC-cosBcosC+sinBsinC=2sinBsinC=1，
∵a²=

1

2

bc，
∴2sin²A=sinBsinC，
∴4sin²A=1，
∵0＜A＜π，
∴sinA=

1

2

∴A=

π

6

或

5π

6

．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，基本不等式的性质．考查了学生基础知识的综合运用．