Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，若点E，F分别是PC，BD的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PAD⊥平面PCD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用三角形中位线的性质，可得线线平行，证明EFGH为平行四边形，可得EF∥GH，进而可得线面平行；
（2）先证明线面垂直，再证明面面垂直即可．

解答： 证明：（1）设PD中点为H，AD中点为G，连结FG，GH，HE，
∵G为AD中点，F为BD中点，
∴GF∥AB且EF=

1

2

AB，
同理EH∥CD且EF=

1

2

CD，
∵ABCD为矩形，∴AB∥CD，AB=CD，
∴GF∥EH，GF=EH，
∴EFGH为平行四边形，∴EF∥GH，
又∵GH?面PAD，EF?面PAD，∴EF∥面PAD．
（2）∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，
又∵ABCD为矩形，∴CD⊥AD，
∴CD⊥面PAD
又∵CD?面PCD，∴面PAD⊥面PCD．

点评：本题考查线面平行、面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．