Question

设点P为函数f（x）=

1

2

x²+2ax与g（x）=3a²lnx+2b（a＞0）图象的公共点，以P为切点可作直线l与两曲线都相切，则实数b的最大值为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质,对数函数的图像与性质,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同，先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用两直线重合列出等式即可求得b值，然后利用导数来研究b的最大值，研究此函数的最值问题，先求出函数的极值，结合函数的单调性，最后确定出最大值与最小值即得．

解答： 解：设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点P（x₀，y₀）处的切线相同、
f′（x）=x+2a，g′（x）=

3a2

x

，
由题意f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
即

1

2

x₀²+2ax₀=3a²lnx₀+2b，x₀+2a=

3a2

x0

由x₀+2a=x₀+2a=

3a2

x0

得x₀=a或x₀=-3a（舍去），
即有2b=

1

2

a²+2a²-3a²lna=

5

2

a²-3a²lna．
令h（t）=

5

2

t²-3t²lnt（t＞0），则h′（t）=2t（1-3lnt）、
于是当t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e

1

3

时，h′（t）＞0；
当t（1-3lnt）＜0，即t＞e

1

3

时，h′（t）＜0．
故h（t）在（0，e

1

3

）为增函数，在（e

1

3

，+∞）为减函数，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h（e

1

3

）=

3

2

e

2

3

，
故b的最大值为

3

4

e

2

3

．
故答案为：

3

4

e

2

3

．

点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．