Question

某次考试中，从甲、乙两个班各随机抽取10名学生的成绩进行统计分析，学生成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．
（Ⅰ）从每班抽取的学生中各随机抽取一人，求至少有一人及格的概率
（Ⅱ）从甲班10人中随机抽取一人，乙班10人中随机抽取两人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,茎叶图

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由茎叶图可知：甲班有4人及格，乙班有5人及格，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有一人及格的概率．
（Ⅱ）由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答： 解：（Ⅰ）由茎叶图可知：甲班有4人及格，乙班有5人及格，
设事件“从每班10名同学中各抽取一人，至少有一人及格”为事件A．
则P（

.

A

）=

6×5

10×10

=

3

10

，
所以P（A）=1-P（

.

A

）=

7

10

．…（4分）
（Ⅱ）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3．…（5分）
P（X=0）=

6 C 2 5

10 C 2 10

=

2

15

，
P（X=1）=

4 C 2 5

1 0C 2 10

+

6×5×5

10 C 2 10

=

19

45

，
P（X=2）=

4×5×5

10 C 2 10

+

6C 2 5

10 C 2 10

=

16

45

，
P（X=3）=

4 C 2 5

10 C 2 10

=

4

45

．…（9分）
所以X的分布列为

X	0	1	2	3
P	2 15	19 45	16 45	4 45

…（10分）
E（X）=0×

2

15

+1×

19

45

+2×

16

45

+3×

4

45

=

7

5

．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和期望的求法，是中档题．