Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{cos（x-\frac{π}{2}）}&{x∈[0，π]}\\{lo{g}_{2017}\frac{x}{π}}&{x∈（π，+∞）}\end{array}\right.$若存在三个不相等的实数a，b，c使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（2π，2018π）．

Answer 1

分析 作出f（x）的函数图象，判断a，b，c的关系和范围，从而得出答案．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，0≤x≤π}\\{lo{g}_{2017}\frac{x}{π}，x＞π}\end{array}\right.$，
作出f（x）的函数图象如图所示：

∵存在三个不相等的实数a，b，c使得f（a）=f（b）=f（c），不妨设a＜b＜c，
则0$＜a＜\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}＜b＜π$，
令log₂₀₁₇$\frac{x}{π}$=1得x=2017π，∴π＜c＜2017π，
∵f（x）在[0，π]上的图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称，∴a+b=π，
∴a+b+c∈（2π，2018π）．
故答案为（2π，2018π）．

点评 本题考查了方程解与函数图象的关系，属于中档题．