Question

4．已知α是锐角，且cos（α+$\frac{π}{5}$）=$\frac{1}{3}$，则cos（2α+$\frac{π}{15}$）=（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{6}-7}{18}$
• B． $\frac{7-4\sqrt{6}}{18}$
• C． $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{6}$
• D． $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{6}$

Answer 1

分析 由题意可得sin（α+$\frac{π}{5}$），进而由二倍角公式可得sin（2α+$\frac{2π}{5}$）和cos（2α+$\frac{2π}{5}$），代入cos（2α+$\frac{π}{15}$）=cos[（2α+$\frac{2π}{5}$）-$\frac{π}{3}$]=$\frac{1}{2}$cos（2α+$\frac{π}{15}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2α+$\frac{π}{15}$）化简计算可得答案．

解答 解：∵α是锐角，且cos（α+$\frac{π}{5}$）=$\frac{1}{3}$，
∴sin（α+$\frac{π}{5}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+\frac{π}{5}）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin（2α+$\frac{2π}{5}$）=2×$\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
cos（2α+$\frac{2π}{5}$）=（$\frac{1}{3}$）²-（$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）²=-$\frac{7}{9}$，
∴cos（2α+$\frac{π}{15}$）=cos[（2α+$\frac{2π}{5}$）-$\frac{π}{3}$]
=$\frac{1}{2}$cos（2α+$\frac{π}{15}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2α+$\frac{π}{15}$）
=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{7}{9}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{4\sqrt{6}-7}{18}$．
故选：A．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数基本关系和二倍角公式，属中档题．