Question

如图所示，l₁，l₂是两条互相垂直的海岸线，C为一海岛，ABCD是一矩形渔场，为了扩大渔业规模，将该渔场改建成一个更大的矩形渔场AMPN，要求点D，N在海岸线l₁上，点B，M在海岸线l₂上，且两点M，N连线经过海岛C，已知AB=3km，AD=2km．
（1）要使矩形AMPN的面积大于32km²，则AN的长应在什么范围内？
（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积．
（3）若AN的长度不少于6km，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）设AN=xkm（x＞2），（x＞2），则ND=x-2，由

ND

DC

=

AN

AM

可表示AM，从而可表示矩形AMPN的面积，解不等式可得；
（2）利用导数求出极值点，根据单调可求矩形面积的最小值；
（3）利用导数可判断函数在所给区间上的单调性，由此可求；

解答： 解：（1）设AN=xkm（x＞2），（x＞2），则ND=x-2，
∵

ND

DC

=

AN

AM

，
∴

x-2

3

=

x

AM

，∴AM=

3x

x-2

，
∴

3x

x-2

•x＞32，即3x²-32x+64＞0，
解得2＜x＜

8

3

或x＞8．
∴要使矩形AMPN的面积大于32km²，则AN的长的范围为（2，

8

3

）∪（8，+∞）；
（2）SAMPN=

3x2

x-2

，S′=

6x(x-2)-3x2

(x-2)2

=

3x(x-4)

(x-2)2

，
令S′=0，当2＜x＜4时，S′＜0，当x＞4时，S′＞0，
∴x=4时，S取得极小值，也为最小值，
S_min=24，
∴当AN=4时，矩形AMPN的面积最小，为24；
（3）由（2）知，当x∈[6，+∞）时，S′＞0，即S在[6，+∞）上单调递增，
∴x=6时S取得最小值，为

3×62

6-2

=27，
∴AN的长度不少于6km时，矩形AMPN的面积最小，为27．

点评：本题以实际问题为背景，考查导数在函数中的应用，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学的应用性．