Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=

n2+n

2

，等比数列{b_n}满足b₁b₂=2b₃，且b₁，b₂+2，b₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=

an

bn

，T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）直接利用a_n=S_n-S_n-1，n≥2，验证n=1，求数列{a_n}的通项公式；利用b₁b₂=2b₃，且b₁，b₂+2，b₃成等差数列，求出首项与公比即可求出{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）设c_n=

an

bn

，利用错位相减法直接求解数列{c_n}的前n项和，通过表达式直接求T_n的取值范围．

解答： （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

n(n+1)

2

-

(n-1)n

2

=n，
n=1时，a₁=1，满足题意，
∴a_n=n…（3分）
设{b_n}的公比为q，则

b12•q=2b1q2 2(b1q+2)=b1+b1q2

…（5分）
∴2（2q²+2）=2q（1+q²）∴q=2，b₁=4
∴bn=2n+1…（7分）
（Ⅱ）∵a_n=n，bn=2n+1．
∴cn=

n

2n+1

∴Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，…①，

1

2

Tn=

1

23

+

2

24

+…+

n-1

2n+1

+

n

2n+2

，…②
由①-②错位相减法得

1

2

Tn=

1

22

+(

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

)-

n

2n+2

，
解得Tn=1-

n+2

2n+1

…（11分）
∵Tn+1-Tn=1-

n+3

2n+2

-(1-

n+2

2n+1

)=

2n+1

2n+2

＞0
∴

1

4

≤Tn＜1…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，错位相减法求解数列的和，以及范围问题，考查分析问题解决问题的能力．