Question

形如y=x 

1

xα

（x＞0）的函数称为“幂指型函数”，它的求导过程可概括成：取对数--两边对x求导--代入还原；例如：y=x^x（x＞0），取对数lny=xlnx，对x求导

1

y

y′=lnx+1，代入还原y′=x^x（lnx+1）；给出下列命题：
①当α=1时，函数y=x 

1

xα

（x＞0）的导函数是y′=

1-lnx

x2

x 

1

x

（x＞0）；
②当α＞0时，函数y=x 

1

xα

（x＞0）在（0，e 

1

α

）上单增，在（e 

1

α

，+∞）上单减；
③当b

1

α

＞e

1

e

时，方程b^x=x^α（b＞0，b≠1，α≠0，x＞0）有根；
④当α＜0时，若方程x^α=log_bx（b＞0，b≠1，x＞0）有两根，则e 

1

αe

＜b＜1；
其中正确的命题是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,指数型复合函数的性质及应用

专题：计算题,新定义,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：①当α=1时，函数y=x 

1

xα

（x＞0）即y=x

1

x

，按照取对数--两边对x求导--代入还原，即可求出导数；
②先求出函数y的导数，再令它大于0、小于0，解不等式求出单调区间；
③将方程b^x=xα转化为b

1

α

=x

1

x

，再由①求出单调区间，得到最大值，根据条件b

1

α

＞e

1

e

，即可判断方程的根的情况；
④将方程x^α=log_bx转化为b=x

1

xα

，再由②求出y的单调区间，得到函数的最值，考虑x趋向于0时，函数值的情况，再由方程有两实根，从而判断b的范围．

解答： 解：①当α=1时，函数y=x 

1

xα

（x＞0）即y=x

1

x

，则lny=

1

x

lnx，

1

y

y′=

1 x •x-lnx

x2

，
故导函数是y′=

1-lnx

x2

x 

1

x

（x＞0）故①正确；
②当α＞0时，函数y=x 

1

xα

（x＞0），lny=

1

xα

lnx，

1

y

y′=

xα-1-lnx•α•xα-1

x2α

，
故导函数是y′=x

1

xα

•

1-αlnx

xα+1

，令y′＞0，则0＜x＜e

1

α

，y′＜0，则x＞e

1

α

；故②正确；
③当b

1

α

＞e

1

e

时，方程b^x=x^α（b＞0，b≠1，α≠0，x＞0）即b

1

α

=x

1

x

，
由①知，y=x

1

x

的导函数是y′=

1-lnx

x2

x 

1

x

（x＞0），当0＜x＜e时，y′＞0；当x＞e时，y′＜0．
故x=e时，y取极大值，也为最大值，且为e

1

e

，而b

1

α

＞e

1

e

，故方程无实根，故③错；
④方程x^α=log_bx（b＞0，b≠1，x＞0）即x=bxα，b=x

1

xα

，由②得到函数y=x 

1

xα

（x＞0）的导函数是y′=x

1

xα

•

1-αlnx

xα+1

，则由于α＜0，故y在（0，e 

1

α

）上单调递减，在（e 

1

α

，+∞）上单调递增，故在x=e

1

α

时，y取得最小值e

1

eα

，且最小值小于1，在x＞0，且x趋向于0时，函数值y趋向于1，故当α＜0时，若方程x^α=log_bx（b＞0，b≠1，x＞0）有两根，则e 

1

αe

＜b＜1，即④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题主要考查“幂指型函数”的求导和应用，考查函数的单调性和最值，以及方程的根和函数的零点的关系，考查转化思想，属于中档题．