Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+ax，g（x）=-x²-a（a∈R）．
（Ⅰ）若函数F（x）=f（x）-g（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，求a的最小值；
（Ⅱ）若函数G（x）=f（x）+g（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）化简函数F（x），求出F′（x），利用函数F（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，转化为x²+2x+a≥0在x∈[1，+∞）恒成立，即可求出a的最小值．
（Ⅱ）化简并且求出G'（x），得到△=4（1-a）．讨论①若a≥1，则△≤0，G'（x）的符号，函数G（x）的图象与x轴是否有且只有一个交点，②若a＜1，则△＞0，G'（x）=0有两个不相等的实数根，不妨设为x₁，x₂（x₁＜x₂）．通过讨论函数的极值，得到当G（x₁）G（x₂）＞0，解得a＞0．当0＜a＜1时，G（0）=-a＜0，G（3）=2a＞0，当0＜a＜1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．得到a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）F(x)=f(x)-g(x)=

1

3

x3+ax+x2+a，F′（x）=x²+2x+a
因函数F（x）=f（x）-g（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，
所以F′（x）=x²+2x+a≥0在x∈[1，+∞）恒成立，即a≥-3，
∴a的最小值为-3．----------（5分）
（Ⅱ）G(x)=f(x)+g(x)=

1

3

x3-x2+ax-a
∵G'（x）=x²-2x+a，∴△=4-4a=4（1-a）．
①若a≥1，则△≤0，∴G'（x）≥0在R上恒成立，
∴G（x）在R上单调递增．∵G（0）=-a＜0，G（3）=2a＞0，
∴当a≥1时，函数G（x）的图象与x轴有且只有一个交点．----------（9分）
②若a＜1，则△＞0，
∴G'（x）=0有两个不相等的实数根，不妨设为x₁，x₂，（x₁＜x₂）．
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=a．
当x变化时，G′（x），G（x）的取值情况如下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
G'（x）	+	0	-	0	+
G（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∵

x

2 1

-2x1+a=0，----------（12分）
∴a=-

x

2 1

+2x1．
∴G(x1)=

1

3

x

3 1

-

x

2 1

+ax1-a
=

1

3

x

3 1

-

x

2 1

+ax1+

x

2 1

-2x1
=

1

3

x

3 1

+(a-2)x1
=

1

3

x1[

x

2 1

+3(a-2)]
同理G（x₂）=

1

3

x2[

x

2 2

+3(a-2)]．
∴G(x1)•G(x2)=

1

9

x

1

x

2

[

x

2 1

+3(a-2)]•[

x

2 2

+3(a-2)]
=

1

9

(x1x2)[(x1x2)2+3(a-2)(

x

2 1

+

x

2 2

)+9(a-2)2]
=

1

9

a{a2+3(a-2)[(x1+x2)2-2x1x2]+9(a-2)2}
=

4

9

a(a2-3a+3)．
令G（x₁）G（x₂）＞0，解得a＞0．
而当0＜a＜1时，G（0）=-a＜0，G（3）=2a＞0，
故当0＜a＜1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．
综上所述，a的取值范围是（0，+∞）．------------------（15分）

点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的恒成立问题以及函数的零点的个数问题，注意函数的单调性以及函数的极值的关系是求解函数零点的个数问题的方法．