Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂且倾斜角为60°的直线与双曲线右支交于A，B两点，若△ABF₁为等腰三角形，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  -1+ 13

  2

• B、

  1+ 13

  2

• C、

  -1+ 13

  2

  或

  1+ 13

  2

• D、其它

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先根据△ABF₁为等腰三角形，然后利用双曲线的定义分别将边长表示为a的关系，然后利用余弦定理建立a，c的方程，从而求出双曲线的离心率．

解答： 解：如图△ABF₁为等腰三角形，
∵直线AB的倾斜角为60°，
∴AF₁≠BF₁，
∵A，B的位置是可以互换的，
∴AF₁=AB，（BF₁=AB）
∵AF₁=AB=AF₂+F₂B，
∴AF₁-AF₂=F₂B=2a，
∵BF₁-BF₂=2a，
∴BF₁=4a，
∵直线AB的倾斜角为60°，
∴∠F₁F₂B=60°
∵F₁F₂=2C
在三角形F₁F₂B中，根据余弦定理得，
（4a）²=（2a）²+（2c）²-2•（2a）•2c•cos60°
整理得，3a²+ac-c²=0
同除以a²得，
(

c

a

)2-

c

a

-3=0，
即e²-e-3=0，
解得，
e1=

1+ 13

2

，e2=

1- 13

2

（应舍去）
当BF₁=BA时，以为A，B的位置是可以互换的，
∴此时
故选：B．

点评：本题主要考查双曲线的定义以及余弦定理的应用，利用余弦定理求出边长和a，c之间的关系是解决本题的关键．本题运算量较大，综合性较强，考查学生的运算能力．