Question

已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n，满足6S_n=

a

2 n

+3a_n+2，又a₁，a₂，a₆是等比数列{b_n}的前三项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）记T_n=a₁b_n+a₂b_n-1+…+a_nb₁，n∈N₊，证明3T_n+1=2b_n+1-a_n+1（n∈N₊）．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等比数列的通项公式，求出首项和公比，即可求出相应的通项公式．
（2）利用错位相减法求出T_n，即得到得到结论．

解答： 解：（1）∵6S_n=

a

2 n

+3a_n+2，①
∴6a₁=

a

2 1

+3a₁+2，解得a₁=1或a₁=2．
又6S_n-1=

a

2 n-1

+3a_n-1+2（n≥2），②
由①-②，得6a_n=（

a

2 n

-

a

2 n-1

）+3（a_n-a_n-1），
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0．
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=3（n≥2）．
当a₁=2时，a₂=5，a₆=17，此时a₁，a₂，a₆不成等比数列，∴a₁≠2；∴a_n=3n-2，b_n=4^n-1．
（2）由（1）得T_n=1×4^n-1+4×4^n-2+…+（3n-5）×4¹+（3n-2）×4⁰，③
∴4T_n=1×4ⁿ+4×4^n-1+7×4^n-2+…+（3n-2）×4¹．④
由④-③得3T_n=4ⁿ+3×（4^n-1+4^n-2+…+4¹）-（3n-2）=4ⁿ+

12×(1-4n-1)

1-4

-（3n-2）
=2×4ⁿ-（3n+1）-1=2b_n+1-a_n+1-1，
∴3T_n+1=2b_n+1-a_n+1，n∈N₊．

点评：本题主要考查数列通项公式和前n项和的计算，利用错位相减法是解决本题的关键，考查学生的计算能力．