Question

已知数列{a_n}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，且满足a₂+a₃=a₄，a₁₁=a₃+a₄，记b_n=a_2n-1（n∈N^*）
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设数列{

bn2+bn+1

bn2+bn

}的前2014项和为T₂₀₁₄，求不超过T₂₀₁₄的最大整数．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等比数列和等差数列的通项公式，求出首项和公比，公差，即可求出相应的通项公式．
（2）求出数列{

bn2+bn+1

bn2+bn

}的通项公式，利用裂项法即可求前2014项和为T₂₀₁₄，即得到得到结论．

解答： 解：（1）设奇数项构成等差数列的公差为d，偶数项构成的等比数列的公比为q，
由a₂+a₃=a₄，a₁₁=a₃+a₄，得

3+d=2q q=2d

，解得d=1，q=2，
则a_2n-1=1+（n-1）×1=n，b_n=a_2n-1=n．
（2）

bn2+bn+1

bn2+bn

=

n2+n+1

n2+n

=1+

1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

，
则数列{

bn2+bn+1

bn2+bn

}的前2014项和为T₂₀₁₄=（1+1-

1

2

）+（1+

1

2

-

1

3

）+…+（1+

1

2014

-

1

2015

）=2015-

1

2015

，
则不超过T₂₀₁₄的最大整数为2014．

点评：本题主要考查数列通项公式和前n项和的计算，利用裂项法法是解决本题的关键，考查学生的计算能力．