Question

2．已知等比数列{a_n}的公比q＞1，a₁与a₄的等比中项是4$\sqrt{2}$，a₂和a₃的等差中项为6，数列{b_n}满足b_n=log₂a_n．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的性质得到a₂•a₃=a₁•a₄，根据已知条件列出关于a₂，a₃的方程解方程求出a₂，a₃，进一步求出公比，利用等比数列的通项公式求出数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=log₂a_n=n，数列{b_n}是首项为1，公差为1 的等差数列，利用等差数列求和公式求解．

解答 解：（1）∵a₁与a₄的等比中项是4$\sqrt{2}$，a₂和a₃的等差中项为6，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{a}_{4}={a}_{2}{a}_{3}=32}\\{{a}_{2}{+a}_{3}=12}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=4}\\{{a}_{3}=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=8}\\{{a}_{3}=4}\end{array}\right.$
由公比q＞1，可得a₂=4，a₃=8，则q=2．
故数列{a_n}的通项公式为a_n=a₂q^n-2=2ⁿ．
 （2）b_n=log₂a_n=n
数列{b_n}是首项为1，公差为1 的等差数列．
令{b_n}的前n项和为s_n．${s}_{n}=\frac{n}{2}（1+n）=\frac{1}{2}n（n+1）$．

点评 本题考查了等比、等差数列的性质、通项，等差数列求和公式，属于中档题．