Question

2．已知f（log_ax）=x-$\frac{k-1}{x}$（k∈R），且函数f（x）是定义域为R的奇函数，其中a＞0，且a≠1．
（1）求k的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$时，不等式f（a^2x+a^-2x）+f（ma^-x-ma^x）＞0对任意x∈[1，+∞）均成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x），利用函数f（x）是定义域为R的奇函数，求k的值；
（2）求导数，可得函数f（x）的单调性；
（3）不等式f（a^2x+a^-2x）+f（ma^-x-ma^x）＞0对任意x∈[1，+∞）均成立，等价于不等式2^2x+2^-2x＞m2^x-m2^-x，对任意x∈[1，+∞）均成立，分离参数，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）令t=log_ax，则x=a^t，∴f（t）=a^t-（k-1）a^-t，
∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴a^-x-（k-1）a^x=-a^x+（k-1）a^-x，
∴k-1=1，
∴k=2；
（2）f（x）=a^x-a^-x，
∴f′（x）=lna（a^x+a^-x），
a＞1，lna＞0，f′（x）＞0，函数在R上单调递增；0＜a＜1，lna＜0，f′（x）＜0，函数在R上单调递减；
（3）f（1）=$\frac{3}{2}$时，a-$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$，∴a=2，函数在R上单调递增．
不等式f（a^2x+a^-2x）+f（ma^-x-ma^x）＞0对任意x∈[1，+∞）均成立，等价于不等式2^2x+2^-2x＞m2^x-m2^-x，对任意x∈[1，+∞）均成立，
设2^x-2^-x=t（t≥$\frac{3}{2}$），则2^2x+2^-2x=t²+2，∴m＜t+$\frac{2}{t}$，
∵t≥$\frac{3}{2}$，∴t+$\frac{2}{t}$≥$\frac{17}{6}$，
∴m＜$\frac{17}{6}$．

点评 本题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．