Question

20．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x（1-x）．
（1）在如图所给直角坐标系中画出函数f（x）的草图，并直接写出函数f（x）的零点；
（2）求出函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质以及函数零点的定义进行求解即可．
（2）根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．

解答 解：（1）当x≥0时，由f（x）=2x（1-x）=0得x=0或x=1，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x＜0时，函数的零点为-1，
即函数f（x）的零点为0，-1，1．
（2）若x＜0，则-x＞0，
∵x≥0时，f（x）=2x（1-x）．
∴当-x＞0时，f（-x）=-2x（1+x）．
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-2x（1+x）=-f（x），
即f（x）=2x（1+x），x＜0．
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x（1-x），}&{x≥0}\\{2x（1+x），}&{x＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查函数零点的求解以及函数解析式的求解决，利用函数奇偶性的定义和性质进行转化是解决本题的关键．