Question

12．已知函数$f（x）=\frac{1}{a}-\frac{1}{{{a^x}+1}}（{a＞1}）$．
（Ⅰ）证明：y=f（x）在R上是增函数；
（Ⅱ）当a=2时，方程f（x）=-2x+1的根在区间（k，k+1）（k∈Z）内，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据单调性的定义即可证明；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+2x-1，判断出函数g（x）是R上的增函数，求出函数的零点区间，即可求出k的值．

解答 （Ⅰ）证明：∵x∈R，设x₁＜x₂，
则f（x1）-f（x2）=a-$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}+1}$-a+$\frac{1}{{a}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}}{（1+{a}^{{x}_{1}}）（1+{a}^{{x}_{2}}）}$，
∵x₁＜x₂，且a＞1，
∴${a^{x_1}}-{a^{x_2}}＜0$．
又$（1+{a^{x_1}}）（1+{a^{x_2}}）＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）为增函数．
（Ⅱ）解：令g（x）=f（x）+2x-1，
当a=2时，由（Ⅰ）知，函数f（x）是R上的增函数，
∴函数g（x）是R上的增函数且连续，
又g（0）=f（0）-1=-1＜0，g（1）=$\frac{7}{6}$＞0，
所以，函数g（x）的零点在区间（0，1）内，
即方程f（x）=-2x+1的根在区间（0，1）内，
∴k=0．

点评 本题考查了函数的单调性的判断，以及函数零点存在定理得应用，属于中档题．