Question

4．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}$x-1（x∈R）．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x₀）=$\frac{6}{5}$，${x_0}∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换的应用化简函数可得解析式f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由2kπ$+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，即可解得f（x）的单调递减区间．
（2）由（1）及$f（{x_0}）=\frac{6}{5}$，则可求$sin（2{x_0}+\frac{π}{6}）=\frac{3}{5}$，由${x_0}∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$，可求2x₀+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，解得cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．2分）

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由f（x）=2$\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}$x-1得：f（x）=$\sqrt{3}$（2sinxcosx）+（2cos²x-1）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．…（2分）
由2kπ$+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$得k$π+\frac{π}{6}$≤x≤k$π+\frac{2π}{3}$，（k∈Z）．
所以函数f（x）的单调递减区间是[k$π+\frac{π}{6}$，k$π+\frac{2π}{3}$]，（k∈Z）．  …（6分）
（2）由（1）知，$f（{x_0}）=2sin（2{x_0}+\frac{π}{6}）$，
又由已知$f（{x_0}）=\frac{6}{5}$，则$sin（2{x_0}+\frac{π}{6}）=\frac{3}{5}$． …（7分）
因为${x_0}∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$，则2x₀+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，因此$cos（2{x_0}+\frac{π}{6}）＜0$，
所以cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，…（10分）
于是cos2x₀=cos[（2x₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$． …（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，两角差的余弦函数公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．