Question

11．已知函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期与单调增区间；
（Ⅱ）若f（α）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，求sin2α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数的周期公式可求f（x）的最小正周期，由2k$π-\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z即可解得f（x）的单调增区间．
（Ⅱ）利用两角和的正弦函数公式可求sinα+cosα=$\frac{1}{2}$，两边平方利用二倍角公式即可求得sin2α的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$），x∈R．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{1}=2π$，
由2k$π-\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z即可解得f（x）的单调增区间为：[2k$π-\frac{3π}{4}$，2k$π+\frac{π}{4}$]，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（α）=sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα+cosα）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴解得：sinα+cosα=$\frac{1}{2}$，两边平方可得：1+sin2α=$\frac{1}{4}$，
∴sin2α=-$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查了三角函数的周期公式，二倍角公式，正弦函数的图象和性质，属于基础题．