Question

【题目】已知双曲线C的焦点与椭圆 =1的焦点相同，且渐近线方程为y=± x．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设F1为双曲线的左焦点，P为双曲线C的右支上一点，且线段PF1的中点在y轴上，求△PF1F2的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：椭圆 =1的焦点为：（±5，0）

∴双曲线的焦点为：（±5，0），

设双曲线方程： ，

∴c=2

双曲线的渐近线方程为y=± x，

不妨设a=3λ，b=4λ（λ＞0），

∵a2+b2=c2，

∴λ=1

∴双曲线方程为

（2）解：设P（x0，y0），又F1（﹣5，0），

由PF1的中点在y轴上，知x0=5

代入双曲线方程，得y0=±

∴ = 丨F1F2丨丨y0丨= ×10× = ．

△PF1F2的面积为

【解析】（1）由椭圆的方程，求得椭圆方程坐标，求得双曲线的焦点坐标，即c=2，由渐近线方程为y=± x，则a=3λ，b=4λ，代入a2+b2=c2 ， 求得λ=1，即可求得a和b，即可求得双曲线C的标准方程；（2）设P（x0 ， y0），由PF1的中点在y轴上，知x0=5，代入即可求得y0=± ，则 = 丨F1F2丨丨y0丨，即可求得△PF1F2的面积．