Question

正方形ABCD被对角线BD和以A为圆心，AB为半径的圆弧

DB

分成三部分，绕AD旋转，所得旋转体的体积V₁、V₂、V₃之比是（　　）

• A、2：1：1
• B、1：2：1
• C、1：1：1
• D、2：2：1

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）,棱柱、棱锥、棱台的体积,球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：设正方形ABCD的边长为1，求出图1、2、3旋转所得旋转体的体积，由此即可得到三部分旋转所得旋转体的体积之比．

解答： 解：设正方形ABCD的边长为1，可得
图1旋转所得旋转体为以AD为轴的圆锥体，高AD=1且底面半径r=1
∴该圆锥的体积为V₁=

1

3

π×AB²×AD=

1

3

π；
图2旋转所得旋转体，是以AD为半径的一个半球，减去图1旋转所得圆锥体而形成，
∴该圆锥的体积为V₂=

1

2

×

4

3

π×AD²-V₁=

1

3

π；
图3旋转所得旋转体，是以AD为轴的圆柱体，减去图2旋转所得半球而形成，
∴该圆锥的体积为V₃=π×AB²×AD-V_半球=π-

2

3

π=

1

3

π
综上所述V₁=V₂=V₃=

1

3

π，
由此可得图中1、2、3三部分旋转所得旋转体的体积之比为1：1：1．
故选：C．

点评：本题给出正方形ABCD被圆弧分成的三部分，求它们旋转而成的几何体的体积之比，着重考查了圆柱、圆锥和球的体积公式等知识，属于基础题．