Question

已知a和b是任意非零实数．
（1）求证

|2a+b|+|2a-b|

|a|

≥4；
（2）若不等式|a+b|+|a-b|≥|a（|2+x|+|2-x|）恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）利用绝对值三角不等式，可证得

|2a+b|+|2a-b|

|a|

=|2+

b

a

|+|2-

b

a

|≥|（2+

b

a

）+（2-

b

a

）|=4；
（2）利用绝对值三角不等式

|a+b|+|a-b|

|a|

≥

|a+b+a-b|

|a|

=2，于是可得|2+x|+|2-x|≤2，解之即可．

解答： （1）证明：

|2a+b|+|2a-b|

|a|

=|

2a+b

a

|+|

2a-b

a

|=|2+

b

a

|+|2-

b

a

|≥|（2+

b

a

）+（2-

b

a

）|=4；
（2）解：由|a+b|+|a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，得

|a+b|+|a-b|

|a|

≥（|2+x|+|2-x|）恒成立，
又因为

|a+b|+|a-b|

|a|

≥

|a+b+a-b|

|a|

=2，
所以，|2+x|+|2-x|≤2，
又|2+x|+|2-x|≥|（2+x）+（2-x）|=4，
∴|2+x|+|2-x|≤2的解集为∅．

点评：本题考查绝对值三角不等式的解法，着重考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．